Trịnh Văn Căn sinh ngày 19 tháng 3 năm 1921 tại giáo xứ Bút Đông, giáo hạt Hà Nam, Tổng Giáo phận Hà Nội, thuộc thôn Đông Nội, xã Trác Bút, huyện Duy Tiên, nay là phường Châu Giang, thị xã Duy Tiên, tỉnh Hà Nam. Ông là con trai duy nhất của ông Phêrô Trịnh Văn Điền (mất 1952) và bà Anna Nguyễn Thị Thảo, cả hai người đều là người làng Bút Đông.[16] Ông có một người em gái ruột tên là Têrêsa Avila Trịnh Thị Miều, hiện nay đang thường trú tại giáo xứ Phú Bình, Tổng giáo phận Sài Gòn. Cha mẹ lấy tên Thánh Giuse làm bổn mạng cho ông, do ông đã sinh vào đúng ngày lễ kính Thánh Giuse.[1][16] Sau khi có người con đầu tiên là Trịnh Văn Căn, năm 1922, ông Trịnh Văn Điền đến Lào kiếm việc làm phù hợp với sở thích và hành nghề y tá tại đây. Sau đó, ông đến Thái Lan và trú tại Thị xã U-Bôn cho đến năm 1932 khi cùng bà Nguyễn Thị Thảo trở về Việt Nam.[17]

Xuất thân từ một gia đình Công giáo, từ nhỏ cậu bé Căn đã đi theo giúp việc cho phó tế Phêrô Nguyễn Đức Tín tại quê nhà.[16] Ngày 28 tháng 6 năm 1929, nhân dịp mẹ con Trịnh Văn Căn đến thăm linh mục chính xứ, chủng sinh Tín hỏi Trịnh Văn Căn về việc có muốn đi theo chủng sinh này và cậu nhận lời.[17] Ngay ngày hôm sau, ông được mẹ cho theo thầy Nguyễn Đức Tín xuống Nam Định để tá túc và thụ giáo với linh mục chánh xứ Nam Định là Pédebidau (tên Việt là Hóa).[16] Năm 1930, sau khi thầy Tín được truyền chức linh mục về giúp xứ Kẻ Vôi, ông đã đưa cậu bé Trịnh Văn Căn theo và cho học tại trường dòng Thường Tín.[18] Năm 1931, ông đỗ bằng Sơ học Yếu lược Pháp – Việt và bắt đầu cuộc sống tu tập tại trường tập sự làm linh mục Hà Nội trong 3 năm. Đầu niên khóa 1934 – 1935, Trịnh Văn Căn được đưa vào học tại Tiểu chủng viện Hoàng Nguyên trong 5 năm, bấy giờ do linh mục Binet (thường được gọi là Cố Ninh) làm hiệu trưởng. Sau khi tốt nghiệp và nhận chức phó tế, ông được đưa về giúp xứ Yên Mỹ và đến năm 1941 thì được gọi về học Đại chủng viện Xuân Bích ở Liễu Giai do các linh mục thuộc Hội Linh mục Xuân Bích điều hành dưới quyền linh mục giám đốc Palliard (tên Việt là Lý).[16]

Sau ngày 2 tháng 9 năm 1945 thì Chiến tranh Đông Dương xảy ra, với hoàn cảnh này, Đại chủng viện nơi Trịnh Văn Căn đang theo học bị đóng cửa, và ông đã tản cư về quê Bút Đông rồi lên Đại Ơn với linh mục Phêrô Nguyễn Đức Tín.[16] Khoảng tháng 3 năm 1947, ông quay trở về đại chủng viện theo học lớp thần học thuộc Dòng Chúa Cứu Thế tại giáo xứ Thái Hà, giáo hạt Hà Nội dưới sự chỉ bảo của linh mục giám đốc Gagnon (tên Việt là Nhân) trong vòng một năm. Đầu năm 1948, ông trở lại học Đại chủng viện Xuân Bích ở Liễu Trai nay là Đại chủng viện Thánh Giuse Hà Nội, và cũng trong năm này ông đã thành lập các hiệp hội giáo dân Việt Nam.[19]